微分から考えるネイピア数eを底にした指数関数の定義

何とかネイピア数の定義から形式的に指数関数の定義を導く事はできましたが、数式に出てくる乗数（指数）が実数になると言う困難はそう簡単には回避できそうにありません。そこで今回は視点を変えて「なぜ複利計算の極限、すなわち連続複利の計算式が自分自身とその微分が一致する関数と言う通常の指数関数の定義と結局おなじ物になるのか」を考えてみたいと思います。

もともとの利息の基本式は と言うものです。一定期間における元金に対する増加率を単利の利率と置きます。するとある指定期間に於ける元利合計の増加分はとなりますが、期間自身を何らかの時間の単位（年、月、日、時間など）にし、をそれを単位にして表現すれば と幾らか簡単になります。

ここで指定期間あたりの増加分、すなわち増加率をある期間の平均増加率ではなく瞬間瞬間の増加率にする事を考えます。自動車などの速度を考える時に平均速度から瞬間速度を定義するのと同じです。そのためにを に持っていきます。 まず両辺をで割り算して、 の極限は と言う微分方程式になります。

この微分方程式を変数分離形に変形すると 。両辺をそれぞれ, で積分するので (Cは任意定数）となります。これを指数形式に直すと、ただしはを改めて置きなおした正の定数です。このはあるいはそのものとは違うと言う意見が出てくるかも知れませんが、およびは関数の縦軸、横軸を伸び縮みさせる係数に過ぎないので、縦軸および横軸の単位を適切に調整すれば、これは微分が自分自身に一致する、ネイピア数を底にした指数関数そのものになるわけです（これまた当たり前）。